Turunan fungsi aljabar

Turunan fungsi Aljabar

A. turunan fungsi Aljabar dan rumus rumus turunan 

Turunan fungsi aljabar adalah fungsi baru hasil penurunan pangkat dari fungsi sebelumnya menurut aturan yang telah ditetapkan. Jika diimplementasikan di dalam grafik fungsi, turunan ini merupakan gradien garis singgung terhadap grafik di titik tertentu. Tingkat turunan fungsi tidak terbatas pada satu tingkat saja, tetapi juga bisa dua tingkat, tiga tingkat, dan seterusnya. Konsep turunan setiap tingkatnya juga sama. Hanya saja, fungsi yang diturunkan berbeda-beda karena mengacu pada hasil turunan sebelumnya.

Notasi turunan fungsi aljabar seperti berikut:

Seperti yang telah disebutkan di atas, jikaturunan fungsi aljabar merupakan perluasan dari materi limit fungsi sehingga dapat didefinisikan seperti berikut:

Rumus Turunan Aljabar

Setelah memahami tentang pengertian dari turunan fungsi aljabar, hal yang perlu Sobat Pintar pelajari adalah rumus dari turunan fungsi aljabar. Rumus turunan fungsi aljabar ini terbagi menjadi beberapa rumus berikut:

f(x) = b → f’(x) = 0

Suatu konstanta akan bernilai nol jika diturunkan, contoh f(x) = 15 → f’(x) = 0.

f(x) = bx → f’(x) = b

Jika variabel x diturunkan terhadap x, akan menghasilkan 1. Contoh:

f(x) = x → f’(x) = 1

f(x) = 2x → f’(x) = 2

f(x) = 5x – 3 →f’(x) = 5

f(x) = axn → f’(x) = naxn-1

CONTOH SOAL:

Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 4x – 5 di titik absis 1!

Pembahasan:

Mula-mula, kamu harus mencari titik ordinat dengan mensubstitusikan x = 1 ke persamaan kurvanya.

y = x2 – 4x – 5

f(x) = x2 – 4x – 5

f(1) = 12 – 4(1) – 5 

f(2) = -8

Dari perhitungan di atas diperoleh koordinat titik singgungnya, yaitu (1, -8).

Selanjutnya, tentukan gradien garis singgungnya.

DAFTAR PUSTAKA:

https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/turunan-fungsi-aljabar/amp/

B. persamaan garis singgung kurva menggunakan turunan

Gradien Garis disimbolkan dengan m dimana :

gradien pada persamaan garis y=mx+c adalah m

gradien pada persamaan garis ax+by=c adalah m=−ab

gradien jika diketahui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah m=y2−y1x2−x1

Gradien dua garis lurus :

yang saling sejajar maka m1=m2

yang saling tegak lurus maka m1.m2=−1

Persamaan Garis Lurus :

Jika diketahui satu titik (x1,y1) dan gradien m, maka persamaan garisnya : y−y1=m(x−x1)

Jika diketahui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka persamaan garisnya : y−y1y2−y1=x−x1x2−x1

Perhatikan Gambar Grafik fungsi y=f(x)

Kemiringan (gradien) garis singgung kurva y=f(x) di titik A(a,f(a)) adalah

m=f′(a)=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δx

Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1,y1) dengan gradien m adalah y−y1=m(x−x1) , sehingga

Persamaan Garis Singgung di titik (a,f(a)) pada kurva adalah

y−f(a)=f′(a)(x−a)

CONTOH SOAL:

Tentukan persamaan garis singgung kurva y=x2 di titik (−1,1) !

Jawab :

cari m dulu di x=−1

m=f' (a)

    = 2x

m= 2(-1)

   = -2 

maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien m=−2 di (−1,1) adalah:

y−y1y−1y−1y====m(x−x1)−2(x−(−1))−2x−2−2x−1

 DAFTAR PUSTAKA:

https://www.meetmath.com/materi-turunan-persamaan-garis-singgung-kurva.html

C. masalah konteksual menggunakan turunan 1 dan turunan 2 serta titik stasioner dari kurva 

Titik stasioner merupakan sebuah titik dalam grafik yang turunan kurva pertamanya sama dengan nol. Titik ini disimbolkan dengan rumus berikut:

Supaya lebih mudah dipahami, titik stasioner dapat digambarkan dalam garis fungsi seperti gambar di bawah ini.

Pada garis fungsi ini, elo bisa menemukan tiga titik. Pertama, pada saat nilai x=a, sehingga fungsinya disebut sebagai f(a). Kemudian, titik stasioner selanjutnya muncul saat nilai x=b, fungsinya disebut sebagai f(b). Lalu yang terakhir muncul saat nilai x=c, sehingga fungsinya adalah f(c)

CONTOH SOAL:

Tentukan interval fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi f(x) = √3 cos x – sin x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π

Penyelesaian :

Seperti pada fungsi aljabar, bahwa fungsi akan naik jika f’(x) > 0 dan fungsi akan turun jika f’(x) < 0.

Jadi fungsi naik untuk interval 5/6 π < x < 11/6 π

Syarat fungsi turun => f’(x) < 0

Jadi fungsi turun untuk interval 0 < x < 5/6 π atau 11/6 π < x < 2π.

DAFTAR PUSTAKA:

https://www.zenius.net/blog/cara-menentukan-titik-stasioner